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如何求解一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)？

這是一個多數人都知道答案的問題。從中學的數學課堂上，我們知道尋找二次方程的根方法無外乎因式分解，或者配方法，再或者跳去求解過程，直接代入求根公式中。

從某種意義上說，以上說的這些方法算不上不同方法，因為求根公式本就是通過配方法而推導得來的。

對求解任意二次方程的探索可追溯到4000多年前的古巴比倫時期。4000多年來，許多數學領域的知名人物都在這個現在看來十分簡單的問題上留下了自己的記錄。而二次方程的求根公式也成為了代數領域中的一個眾所周知的標準公式。

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最近，在一篇發表在arXiv的論文中，卡耐基梅隆大學的數學家Po-Shen Loh（羅博深）提出了一種求解二次方程的更簡單的新方法。

羅博深認為通過配方法推導出的求根公式的計算有點“亂”，而且對一些初次學習代數的人來說，求根公式其實并不好記。再者，他認為傳統的求根公式的推導過程其實頗有難度，因為“配方”這一概念本身就是智慧飛躍的結果，它并不容易。

在他新提出的方法中，他繞開了傳統的配方過程，介紹了一種更為直觀的求解方法，可以用更少的步驟找到二次方程的根。

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那么這個更適用于代數初學者的求解過程是怎樣的呢？

現在，讓我們考慮一元二次方程：

求解的第一步與傳統的方法很像，將多項式 x2 + Bx + C 寫作 (x - R)(x - S) ，如果

那么R 和 S就是x2 + Bx + C=0的兩個根。

將(x - R)(x - S) 展開，再合并同類項，得到：

也就是說兩根之和為

兩根之積為

由此得出，R和S的平均數等于-B/2，所以所要求解的根應該以-B/2±z的形式存在，

其中 z 是一個未知量。

前面我們說R和S的乘積等于C，也就是說(-B/2+z)(-B/2-z)=C，將式子展開，就得到了(-B/2)2-z2=C， 因此我們可以很容易的得出z 的值為

從而最終得到，R和S等于

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作者在論文中舉例了用新的方法求解二次方程：

首先要做的是在等式兩邊都乘以2，將x2的系數變為1，得到

根據上述方法我們知道，這個方程的兩根之和等于2，兩根之積等于4，也就是說1-z2=4，從而得出z=± i√3。

所以方程的兩個根為

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這種方法的優點在哪呢？羅博深認為，根據現在的代數課程設置，學生在了解二次方程之前，首先學會的是多項式相乘，比如他們懂得(a+b)2=a2+2ab+b2，以及 (a+b)(a-b)=a2-b2。因此對于初學者來說，將兩根之和的平均數作為參數，再在其基礎上加減一個未知量，會是一種具有更直觀的數學意義的技巧。因為與通過配方而推導出求根公式的過程相比，新的方法的動機更加直接。

羅博深的方法強化了每個二次方程都具有兩個根的概念，簡化了推導過程。通過引入兩個根的平均值的概念，讓運算的第一步變成搜尋的不是兩個單獨的、不同的值，而是一個相同的值。他認為，這種方法可以讓學生不用去硬記某個公式來求解二次方程，而只要記住一些關于根的簡單歸納，再最終找到方程的解。這將有助于學生理解二次方程是如何工作的，或許能幫助他們更好地適應數學。

參考鏈接：

https://arxiv.org/pdf/1910.06709.pdf