年初，證明了 指標(biāo)定理，為數(shù)學(xué)和物理學(xué)作出杰出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家 邁克爾·阿蒂亞爵士與世長辭，享年89歲；3月，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的最高獎(jiǎng)項(xiàng)之一——阿貝爾獎(jiǎng)——授予了數(shù)學(xué)家 凱倫·烏倫貝克，以表彰她在“幾何偏微分方程、規(guī)范理論和可積系統(tǒng)的開創(chuàng)性貢獻(xiàn)，以及她在分析、幾何和數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域的工作上的深遠(yuǎn)影響 ”，她也成為了首位獲此殊榮的女性數(shù)學(xué)家。

數(shù)學(xué)的世界從來不乏這些偉大的頭腦，更多年輕的數(shù)學(xué)家在前人的智慧成果之上，砥礪前行。2019年即將結(jié)束，回望這一年，有些最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法被重新審視，有些最難的謎題因某些證明或新技術(shù)的出現(xiàn)而取得重大進(jìn)展，還有一些已經(jīng)存在很久的問題得到了徹底解決......

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無理數(shù)之謎

無理數(shù)是無法被寫成分?jǐn)?shù)的沒有盡頭的數(shù)。當(dāng)我們需要用到一個(gè)無理數(shù)時(shí)，通常會(huì)四舍五入地取到它的某一位。比如π被近似為3.14，也就是157/50，但22/7實(shí)則是更貼近π的值。一系列有關(guān)于無理數(shù)的問題一直困擾著數(shù)學(xué)家，那就是：無理數(shù)究竟能被近似到多精確？是否存在一個(gè)精確性的極限？

對這些問題的探討可以追溯到19世紀(jì)初，至今一直沒有明確答案。1941年，物理學(xué)家 Richard Duffin和數(shù)學(xué)家 Albert Schaeffer試圖用一個(gè)簡單的猜想來回答這些問題。他們提出在對無理數(shù)進(jìn)行近似時(shí)，要先有一個(gè)無限長的序列作為分母，然后再確定要以怎樣的精確度（誤差大?。﹣斫埔粋€(gè)無理數(shù)。那么在這種情況下，是否就能基于已經(jīng)有的分母序列和已經(jīng)設(shè)定好的誤差大小，找到無限多個(gè)分?jǐn)?shù)來近似所有無理數(shù)嗎？

Duffin和Schaeffer認(rèn)為，答案是要么所選的分母列表能以需要的精確度對所有無理數(shù)實(shí)現(xiàn)近似，要么一個(gè)也不能近似。雖然大多數(shù)學(xué)家都認(rèn)可Duffin和Schaeffer的猜想，卻沒人可以證明。終于，在2019年夏，數(shù)學(xué)家 James Maynard與 Dimitris Koukoulopoulos利用一堆點(diǎn)的圖形，通過將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)無窮序列究竟是發(fā)散還是收斂的問題，解決了這個(gè)近80年的謎題，取得了數(shù)學(xué)上最難的一項(xiàng)成就之一。目前，其他數(shù)學(xué)家還在研習(xí)和檢查Maynard和Koukoulopoulos提交的那份長達(dá)44頁的證明。[1]

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敏感度猜想

敏感度猜想是 組合學(xué)和 理論計(jì)算機(jī)中最令人困惑的問題之一。這個(gè)猜想與 布爾函數(shù)有關(guān)，布爾函數(shù)是一系列將一串輸入位（0、1）轉(zhuǎn)換成一個(gè)單一輸出位的規(guī)則。“敏感度”是一種用來描述布爾函數(shù)復(fù)雜性的度量，它描述的是當(dāng)一串輸入位中的單一一個(gè)輸入位被改變時(shí)，會(huì)導(dǎo)致輸出位發(fā)生改變的可能性。在所有描述復(fù)雜性的度量中，幾乎所有其他度量都可被用來衡量其他度量的值，似乎只有敏感度是一個(gè)例外。有數(shù)學(xué)家在1992年提出猜想，認(rèn)為敏感度并不是一個(gè)例外。但近30年來，沒有人能真正證明這一猜想。

今年，數(shù)學(xué)家 黃皓將問題轉(zhuǎn)化成立方體上的點(diǎn)的組合學(xué)，僅用兩張紙的篇幅，巧妙的完成了論證。[2]

3

一張永遠(yuǎn)能中獎(jiǎng)的彩票

一個(gè)已經(jīng)存在了半個(gè)世紀(jì)之久的謎題，在今年被數(shù)學(xué)家 Asger Dag T?rnquist解開。這個(gè)謎題與 拉姆齊定理有關(guān)。拉姆齊定律說的是，在一個(gè)有6個(gè)人的聚會(huì)上，至少有3個(gè)人相互認(rèn)識(shí)或相互不認(rèn)識(shí)。1969年，英國數(shù)學(xué)家 Adrian R.D. Mathias開始思考，拉姆齊定律是否存在一個(gè)無窮大版本，由此產(chǎn)生了這個(gè)集合論領(lǐng)域中涉及到無窮大的理論難題。

這個(gè)抽象的問題可以用一種假想的彩票來解釋：有這樣一張彩票，它的上面有無窮行數(shù)字，每行都有無窮多個(gè)數(shù)字，而且每一行不能與其他某一行擁有無窮多個(gè)相同的數(shù)字。開獎(jiǎng)方式是抽取無窮多個(gè)數(shù)字，如果彩票上的某一行的數(shù)字與抽取的數(shù)字有無窮多個(gè)相同，那么這張彩票就中獎(jiǎng)了。那么問題來了：這張彩票是否每次都能中獎(jiǎng)？

Mathias發(fā)現(xiàn)這個(gè)問題與被稱為“ MAD族”的數(shù)學(xué)概念有關(guān)，一個(gè)MAD族就像是一張總能以某種獨(dú)特而又無限的方式中獎(jiǎng)的彩票，但卻他無法證明這種關(guān)聯(lián)的存在。直到今年，T?rnquist與合作者提交了一篇論證，證實(shí)了如果彩票號碼中沒有特定的模式和規(guī)律，就不會(huì)組裝出這樣一張彩票，因而完整證明了不存在這樣一張永遠(yuǎn)能中獎(jiǎng)的特殊彩票。[3]

4

33 和 42！

在數(shù)論領(lǐng)域，有這么一個(gè)看似容易卻難如登天的問題，那就是“是否每一個(gè)整數(shù)都可以表示為三個(gè)整數(shù)的立方和？即是否存在整數(shù)k、x、y、z，使得對于所有的k，它們都滿足丟番圖方程 k = x3 + y3 + z3。對有的k值來說，它的解可以很容易被找到；但對有的k來說卻異常困難。首先要確定它是否真的存在這樣一組解；接著即便有的解真的存在，似乎也很難被計(jì)算出來。

今年，在100以內(nèi)但還沒有被求出解的最后兩個(gè)整數(shù)——33和42——被先后求解。3月，英國數(shù)學(xué)家 Andrew Booker利用超級計(jì)算機(jī)解得

9月，Booker與MIT的數(shù)學(xué)家 Andrew Sutherland通過一個(gè)慈善引擎找到了屬于42的解：

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黎曼假設(shè)

位列千禧年大獎(jiǎng)的七大難題之一的 黎曼假設(shè)是數(shù)學(xué)中最令人費(fèi)解的問題之一。這個(gè)與 質(zhì)數(shù)有關(guān)的假設(shè)已經(jīng)困擾人們長達(dá)160年之久。黎曼注意到質(zhì)數(shù)的分布與 黎曼ζ函數(shù)中函數(shù)值為0的點(diǎn)密切相關(guān)。他推測如果對黎曼ζ函數(shù)進(jìn)行繪圖，會(huì)看到函數(shù)中一些特定的0點(diǎn)都落在一條特定的直線上。

今年，幾位數(shù)學(xué)家通過使用一種陳舊的方法—— Jensen多項(xiàng)式——為證明黎曼假設(shè)帶來了新的進(jìn)展。Jensen多項(xiàng)式是種 復(fù)函數(shù)，數(shù)學(xué)家將問題轉(zhuǎn)化為，如果可以證明讓Jensen多項(xiàng)式為0的值都是實(shí)數(shù)，那么黎曼假設(shè)為真。在新的工作中，數(shù)學(xué)家證明了許多Jensen多項(xiàng)式的確有實(shí)根，這滿足了證明黎曼假設(shè)所需的大部分條件。從一定程度上看，新的結(jié)果進(jìn)一步支持了大多數(shù)學(xué)家所認(rèn)為的黎曼假設(shè)是正確的這一觀點(diǎn)，為黎曼假設(shè)的正確性提供了新的證據(jù)。[6]

6

向日葵猜想

已經(jīng)困擾了數(shù)學(xué)家近60年之久的 向日葵猜想在今年迎來了新的進(jìn)展。1960年，數(shù)學(xué)家 Paul Erd?s和 Richard Rado提出向日葵猜想，它與 集合有關(guān)，比如在平面x-y上，每個(gè)集合包含固定數(shù)量的點(diǎn)，然后隨機(jī)畫環(huán)，讓每個(gè)環(huán)中含有這一數(shù)量的點(diǎn)，環(huán)與環(huán)可以重疊。當(dāng)繪制了許多環(huán)時(shí)，多數(shù)環(huán)會(huì)重疊并糾纏在一起。向日葵猜想說的是，在這樣的情況下，有一個(gè)微妙的結(jié)構(gòu)總是會(huì)出現(xiàn)：三個(gè)或更多的集合會(huì)在完全相同的點(diǎn)的子集上重疊，而且它們之中沒有一個(gè)會(huì)與其他的任何集合重疊。如果將這些共有的點(diǎn)的子集刪除，那么這三個(gè)集合就會(huì)圍繞著一個(gè)空隙排列，彼此之間完全分離，就像向日葵的花瓣圍繞著中心的黑色部分那樣。

今年，四名由數(shù)學(xué)家和計(jì)算機(jī)科學(xué)家組成的團(tuán)隊(duì)將布爾函數(shù)的知識(shí)運(yùn)用到了向日葵問題上，將問題分解成了兩種不同的場景：一個(gè)是考慮當(dāng)集合存在大量重疊時(shí)會(huì)發(fā)生什么，另一個(gè)是分析當(dāng)集合沒有太多重疊時(shí)會(huì)發(fā)生什么。最終證明了(log w)?個(gè)集合就足以產(chǎn)生向日葵，比Erd?s和Rado的結(jié)果w?精進(jìn)了一個(gè)數(shù)量級。[7]

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失效的歐拉方程

歐拉方程是描述了流體隨時(shí)間演化的方程組。更確切地說，歐拉方程描述的是流體中無窮小的粒子的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)，這包括一個(gè)粒子的 速度和它的 渦量。歐拉方程包含幾個(gè)非物理性的假設(shè)，例如它們假設(shè)當(dāng)流體的內(nèi)流在流過彼此時(shí)不會(huì)產(chǎn)生摩擦，以及它們還假設(shè)流體是不可壓縮的。

多年來，很多數(shù)學(xué)家一直懷疑歐拉方程在某些特定的情況下會(huì)失效，但沒有人能給出確切的證明。

今年，數(shù)學(xué)家 Tarek Elgindi用一個(gè)新的證明找到了能讓歐拉方程失效的特定條件。在他的證明里，他在一定程度上簡化了歐拉方程需要處理的工作，找到了歐拉方程的”奇點(diǎn)“，證明了在歐拉方程中，當(dāng)流體中的兩個(gè)環(huán)相向運(yùn)動(dòng)時(shí)，在相撞的點(diǎn)上能得出無窮大的渦流結(jié)果，從而導(dǎo)致歐拉方程在這一點(diǎn)上失效。[8][9]

8

孿生素?cái)?shù)猜想

孿生素?cái)?shù)是指那些相差為2的素?cái)?shù)對，比如3和5、5和7、11和13……除了3和5之外，每個(gè)孿生素?cái)?shù)對中的第一個(gè)素?cái)?shù)總是比6的倍數(shù)小1，因而第二個(gè)孿生素?cái)?shù)總是比6的倍數(shù)大1。1849年，法國數(shù)學(xué)家 波林那克提出孿生素?cái)?shù)猜想，它說的是在自然數(shù)集中，這樣的孿生素?cái)?shù)對有無窮多個(gè)。但這個(gè)猜想至今無人能證明。

這個(gè)猜想的主要進(jìn)展集中在最近10年。2013年，數(shù)學(xué)家 張益唐完美地證明了差值為7000萬的素?cái)?shù)有無窮多個(gè)；在過去的6年里，包括 陶哲軒在內(nèi)的數(shù)學(xué)家一直在將這個(gè)素?cái)?shù)差值縮小，目前的最好結(jié)果是246。

今年9月，數(shù)學(xué)家 Will Sawin和 Mark Shusterman提供了一個(gè)證明孿生素?cái)?shù)猜想的新方法。他們在有限數(shù)系統(tǒng)的設(shè)定下討論孿生素?cái)?shù)問題，利用有限域的性質(zhì)將問題用幾何方式進(jìn)行探討，將孿生素?cái)?shù)猜想與素多項(xiàng)式聯(lián)系了起來。利用這種方法，他們證明了孿生素?cái)?shù)猜想在有限域中是正確的，即相差任意間隔的孿生素多項(xiàng)式有無窮多對。[10]

9

考拉茲猜想

今年9月，數(shù)學(xué)家 陶哲軒向 考拉茲猜想發(fā)起挑戰(zhàn)，為這個(gè)已存在了82年的猜想帶來了進(jìn)展。考拉茲猜想的核心就是圖中的函數(shù)f(n)，n為任意自然數(shù)，規(guī)則是當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)值為n的一半；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)值比n的三倍多1。取任意自然數(shù)，一遍又一遍地在f(n)中迭代，最終會(huì)得到1。

考拉茲猜想說的就是，以任何自然數(shù)開始代入這個(gè)方程，都會(huì)以1結(jié)尾。目前，數(shù)學(xué)家已經(jīng)驗(yàn)證了102?以內(nèi)的數(shù)字，但還沒有從數(shù)學(xué)的角度上真正證明這一猜想對所有的自然數(shù)都成立。

這次，陶哲軒讓考拉茲猜想幾乎得到了解決，與這個(gè)“幾乎”對應(yīng)的專業(yè)術(shù)語是 對數(shù)密度，它描述了如果真的存在考拉茲猜想的反例的話，反例的罕見程度會(huì)是多少。陶哲軒證明了這樣的反例有可能存在，但當(dāng)數(shù)字越大，這樣的反例的出現(xiàn)頻率就會(huì)越趨近于0。

陶哲軒表示，雖然新的結(jié)果表明考拉茲猜想的反例極其罕見，但它仍有別于“完全不存在”。要真正完全解開這個(gè)謎題，還有很長一段路要走。

10

完美乘法

乘法已經(jīng)有數(shù)千年的歷史了，然而，這個(gè)幾乎人人都會(huì)的數(shù)學(xué)算法其實(shí)一直是數(shù)學(xué)中的一個(gè)活躍的研究領(lǐng)域。對極大的數(shù)字來說，現(xiàn)有的乘法算法并不高效。因而精進(jìn)乘法算法對于提升計(jì)算速度來說有著至關(guān)重要的意義。

傳統(tǒng)的乘法算法在計(jì)算n位數(shù)乘以n位數(shù)的運(yùn)算時(shí)一般需要n2步。1962年，數(shù)學(xué)家 Anatoly Karatsuba找到了能將n位數(shù)的數(shù)字相乘的運(yùn)算量縮減到n1·??。到了1971年，德國數(shù)學(xué)家 Arnold Schonhage和 Volker Strassen進(jìn)一步將運(yùn)算量減少到n×log(n)×log(log(n))步，并推測出對n位數(shù)數(shù)字的相乘來說，極限步數(shù)應(yīng)該是n×log(n)。

近幾十年來，數(shù)學(xué)家們一直在逼近這一極限，直到今年3月，數(shù)學(xué)家 David Harvey和 Joris van der Hoeven終于抵達(dá)了這一極限。[11]

除了提到的這些例子之外，還有其他一些數(shù)學(xué)領(lǐng)域也取得了進(jìn)展。比如數(shù)學(xué)家用幾十年的時(shí)間，試圖用更靈活的“等價(jià)”概念來替換我們一直使用的“等號”。再比如在今年8月，陶哲軒和三位物理學(xué)家一起，用一個(gè)簡單的新公式將矩陣中的特征值和特征向量以一種全新的方式聯(lián)系了起來 [12-13] ，在產(chǎn)生了新的數(shù)學(xué)見解的同時(shí)，還使得對中微子的研究變得更加簡單……

在純數(shù)學(xué)家的眼中，數(shù)學(xué)是優(yōu)雅、美好的藝術(shù)，他們并不習(xí)慣于常去考慮他們所做的一切是否會(huì)有何實(shí)際用途。但千百年來，無論是科學(xué)技術(shù)，還是人類的思考方式，都在數(shù)學(xué)的影響下悄然改變。在新時(shí)代到來之際，我們期待在下一個(gè)十年，數(shù)學(xué)會(huì)給我們帶來更多驚喜。

參考來源：

[1] https://arxiv.org/pdf/1907.04593.pdf

[2] https://arxiv.org/abs/1907.00847

[4] https://arxiv.org/pdf/1903.04284.pdf

[5] bristol.ac.uk/news/2019/september/sum-of-three-cubes-.html

[7] https://arxiv.org/abs/1908.08483

[8] https://arxiv.org/abs/1904.04795

[9] https://arxiv.org/abs/1910.14071

[10] https://arxiv.org/abs/1808.04001

[12] https://arxiv.org/abs/1907.02534

[13] https://arxiv.org/abs/1908.03795