對階乘進行解析延拓后，就能得到著名的伽馬函數，我們根據伽馬函數，就可以得到"0！=1"。

階乘

階乘是指所有小于以及等于某個數的正整數之積，記為：

n！=1×2×3×……×n；

在排列組合中我們經常遇到階乘運算，比如5個人按照順序進行排隊的話，就有“5！=120種”排列方法。

按照階乘的定義，我們很容易得出這么一個結論：

（n+1）!=(n+1)*n!，其中n≥1且為整數；

至于n=0的情況，超出了階乘的定義范圍，但是我們為了讓上面式子繼續成立，我們強行把n=0帶進去有：

（0+1）！=（0+1）*0！

由于1！=1，所以我們得出0！=1的結論，大家要注意了，這只是一個試探性的結論，不過我們為了保證數學公式的連續性，完全可以定義：

0！=1

這樣的話，對于階乘來說，我們就能把定義域再加上一個“0”；那么0的階乘等于零又有何意義呢？這樣的定義是否合理？

伽馬函數

對于0的階乘等于零，更嚴謹的證明需要用到伽馬函數Γ（n）：

這是大數學家歐拉在1729年，經過解析延拓后得到的函數，也是對階乘函數的擴展，這個函數擁有一個非常有趣的性質：

Γ（n+1）=nΓ（n），其中n>0；

于是我們很容易得到：

對于最后一個公式，當n=1時：

Γ（1）=（1-1）！=0！=1

得證！

伽馬函數的定義域不在僅限于整數，對于非整數也是成立的，如果利用伽馬函數的遞歸公式，還可以把伽馬函數的定義域擴展到負數上。

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