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計(jì)算機(jī)、大數(shù)據(jù)、人工智能的加速發(fā)展，以及金融市場(chǎng)和全球化經(jīng)濟(jì)的進(jìn)程，令概率成為現(xiàn)代人必備的“底層算法”。
作者 | 老喻在加
來源 | 孤獨(dú)大腦（lonelybrain）
開 始
懂概率的3個(gè)層級(jí)
01
懂得概率的人，才是真正聰明的人。
因?yàn)檫@個(gè)世界，不管是世俗層面，還是宇宙層面，都是依照概率運(yùn)行的。至少，概率包裹著人類的無知的最外面那一層。
然而，這個(gè)世界上極少有人真的懂概率。
我把“懂概率”分為3個(gè)層級(jí)：
層級(jí)一：懂概率計(jì)算；
層級(jí)二：懂概率思考；
層級(jí)三：懂概率行動(dòng)。
這三個(gè)層級(jí)未必是遞進(jìn)的關(guān)系。
a、你是概率計(jì)算高手，也會(huì)艱深的概率思考，但未必一定是個(gè)概率行動(dòng)高手。即使天才如凱恩斯，也是歷經(jīng)多年磨難，才最終躋身“層級(jí)3”；
b、有些人壓根兒不會(huì)基本的概率計(jì)算，也不知道什么叫概率思維，但天生就是概率行動(dòng)高手。例如那些德州撲克高手，交易員鬼才等等。
這或者是因?yàn)樗麄冃r(shí)候的生活環(huán)境是個(gè)天然的概率訓(xùn)練場(chǎng)，或者是因?yàn)榇竽X本身就是一個(gè)概率機(jī)器。
02
有多少人懂得概率計(jì)算？
大約1%吧，實(shí)話說可能更少。
懂得概率計(jì)算的人里，有多少人懂得概率思考？
再來個(gè)1%。
懂得概率思考的人里，有多少人懂得概率行動(dòng)？
還是1%吧。
不過，這么一算，全世界沒多少人真正懂得概率行動(dòng)了，而且這樣計(jì)算也違背了我上面所說的，有些人天生就會(huì)概率行動(dòng)而無需會(huì)計(jì)算。
所以，修正一下，把后面的兩個(gè)1%改成10%。
于是，可以得出，有意識(shí)的概率行動(dòng)者，大約萬分之一。
也就是說，在千萬級(jí)人口的城市里，有幾千個(gè)“概率高手”。
你可能會(huì)說，不對(duì)吧，北上廣深這些千萬人口城市，每個(gè)地方光是億萬富翁都不止幾千個(gè)吧？
有錢人雖然多，但很多只是靠運(yùn)氣，屬于“隨機(jī)漫步的傻瓜”，而非概率高手。
層 級(jí) 一
概率計(jì)算
01
假如想應(yīng)對(duì)這個(gè)世界上的不確定性，與隨機(jī)性共舞，你必須懂得概率計(jì)算。
那么，一個(gè)普通人到底要掌握多少概率公式，才夠用呢？
我的答案是：零。
沒錯(cuò)，你一個(gè)公式都不用記。
愛因斯坦說：
“科學(xué)知識(shí)不是大量莫名其妙的結(jié)論，它是每個(gè)人按照正確的思維方式自己應(yīng)當(dāng)并且也能夠推導(dǎo)出的結(jié)論。
學(xué)習(xí)科學(xué)的過程，就是自己得出這個(gè)結(jié)論的過程。”
“科學(xué)知識(shí)不是大量莫名其妙的結(jié)論，它是每個(gè)人按照正確的思維方式自己應(yīng)當(dāng)并且也能夠推導(dǎo)出的結(jié)論。
學(xué)習(xí)科學(xué)的過程，就是自己得出這個(gè)結(jié)論的過程。”
概率的公式本來就很簡(jiǎn)單，假如你能夠拆掉這些公式，自己從頭推導(dǎo)，你就永遠(yuǎn)不用去記這些公式。
對(duì)于那些熟悉概率公式的人，我也建議你一起來一次“從頭推導(dǎo)”，這樣你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，幾乎可以解決所有的“難度達(dá)到硅谷面試題級(jí)別”的概率趣題，絕對(duì)橫掃“俗人圈兒”。
02
如何從頭推導(dǎo)？
我想和你分享的是“平行宇宙法”。
比方說，我們?nèi)右粋€(gè)標(biāo)準(zhǔn)的六面骰子，眾所周知，你得到任何一個(gè)面的可能性都是1/6。
但是很多人即使懂得這個(gè)簡(jiǎn)單的道理，也沒法從感官上理解。他會(huì)想：骰子落地，只會(huì)100%是某個(gè)數(shù)字，1/6有什么意義呢？
就像我有次和一個(gè)朋友聊特斯拉電動(dòng)車的自燃率。我告訴他根據(jù)行駛里程，特斯拉官方公布的自燃率比燃油車低500%。
這個(gè)朋友說：不管你特斯拉總的自燃比例有多低，（一旦發(fā)生）對(duì)任何一個(gè)車主而言就是100%……電動(dòng)車自燃也許是小概率事件，但對(duì)涉事車主來說，卻是百分百的噩耗。
這就是聰明的概率無知者。
其實(shí)特斯拉的說法也有漏洞，因?yàn)樗麄儜?yīng)該和同等車齡同等級(jí)別的車對(duì)比，才夠公平。不過，這個(gè)就是更聰明的人才能提出的問題了。
回到我們的“平行宇宙法”：
一個(gè)骰子在你扔出的瞬間，現(xiàn)有的宇宙分裂成了6個(gè)平行宇宙，如下：
所以，盡管現(xiàn)實(shí)中，看起來骰子落地的時(shí)候，只會(huì)是某個(gè)確定的一面朝上，但是當(dāng)你（不作弊地）隨機(jī)扔出骰子的時(shí)候，骰子的未來就分裂成了6個(gè)平行宇宙，分別是骰子落地之后的6個(gè)結(jié)果：1，2，3，4，5，6。
但是，我們的現(xiàn)實(shí)，只能選擇6個(gè)宇宙中的一個(gè)。
因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)骰子的六個(gè)面是一樣的，所以6個(gè)宇宙平分了“未來的可能性”。
所以某一面出現(xiàn)的可能性，也就是概率，是1/6。
那么，扔一個(gè)骰子，得到偶數(shù)的概率是多少呢？
把2、4、6三個(gè)平行宇宙的三個(gè)1/6加起來，等于1/2。
懂得概率計(jì)算的人，一定會(huì)對(duì)我如此啰嗦表示不屑，請(qǐng)堅(jiān)持一下，再往下看。
03
“平行宇宙論”，也叫多重宇宙論，或者叫多元宇宙論，指的是一種在物理學(xué)里尚未證實(shí)的假說：
在我們的宇宙之外，很可能還存在著其他的宇宙，而這些宇宙是宇宙的可能狀態(tài)的一種反應(yīng)，這些宇宙可能其基本物理常數(shù)和我們所認(rèn)知的宇宙相同，也可能不同。
多重宇宙這個(gè)名詞是由美國哲學(xué)家與心理學(xué)家威廉·詹姆士在1895年所提出的。
平行宇宙經(jīng)常被用以說明：一個(gè)事件不同的過程或一個(gè)不同的決定的后續(xù)發(fā)展是存在于不同的平行宇宙中的。（以上來自維基百科）
我個(gè)人對(duì)平行宇宙的理論不太感冒，但覺得用它來描述概率，非常直觀。
而且，這能夠讓我們從哲學(xué)和“實(shí)在”層面，去理解概率里的“發(fā)生”和“未發(fā)生”。
例如，假如一件事情發(fā)生的概率是80%，但結(jié)果這件事情并沒有發(fā)生。很多人會(huì)據(jù)此懷疑概率的意義。
借助于平行宇宙的理論，我們就能說，除了要驗(yàn)證80%發(fā)生概率的精確性，可以認(rèn)為我們掉進(jìn)了20%“不發(fā)生”的平行宇宙，這并不奇怪。
最近有位物理學(xué)家認(rèn)為，我們處于上層宇宙的一個(gè)黑洞中。
這個(gè)新觀點(diǎn)頗讓人震驚：我們所知的宇宙，可能是從其他宇宙里面的“黑洞”誕生而來。大爆炸就是一個(gè)黑洞“炸出”另一個(gè)宇宙的過程。
我們對(duì)于充滿不確定性的未來，對(duì)自己似乎“命中注定”的命運(yùn)，對(duì)于比電影還要精彩（或是“還要悲催”）的現(xiàn)實(shí)，不可避免地會(huì)有一些疑惑和感慨。
04
讓我們回到現(xiàn)實(shí)世界的概率話題。
現(xiàn)在我們把問題變成扔兩個(gè)骰子。
請(qǐng)問扔兩個(gè)骰子，得到兩個(gè)6的可能性是多大？
太簡(jiǎn)單了，1/6??1/6=1/36。
但是，為什么要這么計(jì)算呢？
我知道你懂“兩個(gè)獨(dú)立事件A和B同時(shí)發(fā)生的概率等于A發(fā)生的概率和B發(fā)生的概率的乘積”，可我們說好了不用公式的呀。
所以，讓我們繼續(xù)用平行宇宙的可視化計(jì)算法。
扔兩個(gè)骰子，其實(shí)是它們的宇宙分裂了兩次，如下圖：
第一次：扔第一個(gè)骰子時(shí)，宇宙分裂成了六個(gè)（綠色）；
第二次：扔第二個(gè)骰子時(shí)，每個(gè)綠色的宇宙又分別分裂成了六個(gè)（藍(lán)色）。
于是我們得到了36個(gè)平行宇宙。
現(xiàn)在我們來找一下，在36個(gè)平行宇宙里，有多少個(gè)是兩個(gè)骰子都處于6的狀態(tài)。
答案是只有一個(gè)（在右下角），所以，得到兩個(gè)6的可能性是1/36。
用“平行宇宙法”，看起來復(fù)雜，但直觀，而且可感知。
這正是愛因斯坦所說的：
每個(gè)人按照正確的思維方式自己應(yīng)當(dāng)并且也能夠推導(dǎo)出的結(jié)論。
更關(guān)鍵的是，我們可以用這種零公式的方法，來解答更難的題目。
05
有些讀者會(huì)問我數(shù)學(xué)題，例如下面這個(gè)：
這個(gè)問題看起來簡(jiǎn)單，我猜90%的人不會(huì)做。
會(huì)做的那10%，其中可能只有1%能說明白為什么這么做。
讓我繼續(xù)采用“平行宇宙法”清清楚楚地算一遍。
如題，因?yàn)?也可以是3，所以我們可以把問題簡(jiǎn)化，單個(gè)骰子得到3的概率是2/6=1/3。
在下圖中：
用紅球來標(biāo)記1和3，出現(xiàn)的概率是1/3；
用黑球來標(biāo)記其他可能，出現(xiàn)的概率是2/3；
扔三個(gè)球，作為獨(dú)立事件，相當(dāng)于爆炸了三次，如下圖。
分裂了三次之后，一共產(chǎn)生了3??3??3=27種可能。
我們來檢查一下，這27個(gè)平行宇宙中，有多少個(gè)是兩個(gè)紅色球？
如圖，從右側(cè)回溯到左側(cè)，每條線上的三個(gè)球，就是該平行宇宙下的三球分布。
其中，畫紅鉤的6個(gè)符合條件。
所以，答案是：6/27=2/9。
我們也可以用排列組合法來做：
1/3??2/3??1/3??3=6/27=2/9。
但我們說了，不用一個(gè)公式。
（開始提問者后半截的問題，搖骰子，得到三個(gè)3（1也可以是3）的概率是1/27。）
06
下面這道題，已經(jīng)進(jìn)入高手級(jí)別了，但是我們依然不用任何公式。
更好玩兒的是，你甚至可以用下面這道題讓普通人迷惑的地方，在酒吧里和人“打賭”。（當(dāng)然，不是真賭哈。）
帽子里有三張卡片。一張兩面都是紅色（“紅-紅”），一張兩面都是白色（“白-白”），一張一面紅色一面白色（“紅-白”）。
從里面隨機(jī)抓出一張卡片扔向空中，落地后紅色一面朝上。問：這張卡片是“紅-紅”的概率是多少？
請(qǐng)你準(zhǔn)備三張紙片，寫成上面的樣子，以便更直觀地思考。
看起來很簡(jiǎn)單啊，根據(jù)已有信息，這張牌要么是（“紅-紅”）那一張，要么是（“紅-白”），二者出現(xiàn)的可能性是一樣的，所以是“紅-紅”的概率是50%，不是嗎？
正確答案是：2/3。
正確的問題表征是根據(jù)卡片的面，而不是整張卡。
所有結(jié)果的樣本空間包括六個(gè)事件——每張卡片的每一面各為一個(gè)事件。
由于紅色的一面向上，因此在“有效樣本空間”中共有三個(gè)事件：紅白（紅面向上）、紅-紅（一個(gè)紅面向上）、紅-紅（另一個(gè)紅面向上）。
因此正確答案是 2/ 3——三個(gè)等概率事件中，其中兩個(gè)是紅-紅。
正確的問題表征是根據(jù)卡片的面，而不是整張卡。
所有結(jié)果的樣本空間包括六個(gè)事件——每張卡片的每一面各為一個(gè)事件。
由于紅色的一面向上，因此在“有效樣本空間”中共有三個(gè)事件：紅白（紅面向上）、紅-紅（一個(gè)紅面向上）、紅-紅（另一個(gè)紅面向上）。
因此正確答案是 2/ 3——三個(gè)等概率事件中，其中兩個(gè)是紅-紅。
我們的錯(cuò)覺在于，紅-紅這張牌每回只能出現(xiàn)一次，為什么其兩面可以“拆”成兩個(gè)獨(dú)立事件呢？
我們用窮舉法，以“概率樹”的形式，也就是我們上面所說的“平行宇宙法”，加上書中的配圖（如下），更容易理解：
三張牌可以分裂成（上圖右側(cè)的）6個(gè)平行宇宙，牌面是紅色的有3個(gè)，這3個(gè)中，有2個(gè)是紅-紅牌。
你看，這道題看似非常簡(jiǎn)單，能答對(duì)的人極少。而且會(huì)有人看了答案都不服，最好的辦法就是做三張牌，實(shí)際玩兒上幾把，不服就來真的。
07
其實(shí)，“平行宇宙法”就是一種窮舉法。
只不過我把動(dòng)態(tài)過程加進(jìn)去，因?yàn)橛辛藭r(shí)間、空間，以及“分裂”這個(gè)動(dòng)作，我們就可以讓這個(gè)計(jì)算過程可視化，可感知。
這樣一來，也就更可以在“為什么”的基礎(chǔ)上思考。
“為什么”，是一個(gè)非常偉大的詞匯，本系列文章的后兩篇，“為什么”是主角之一。
追問“為什么”，也是概率計(jì)算的“第一性原理”。
一旦做到了這一點(diǎn)，你就是真正聰明的概率高手。
08
能否進(jìn)行概率計(jì)算和思考，的確是評(píng)判一個(gè)人是否真聰明的硬指標(biāo)。
1968年夏天，愛德華·O·索普遇見了沃倫·巴菲特共進(jìn)晚餐。索普是一位數(shù)學(xué)家，曾經(jīng)在賭場(chǎng)攻克了21點(diǎn)游戲，后來又在資本市場(chǎng)上大展身手，是量化金融的先驅(qū)。
兩個(gè)聰明人在一起自然要過招。巴菲特決定考驗(yàn)一下索普，題目如下。
有三個(gè)奇異骰子，每一個(gè)骰子最多有2個(gè)或3個(gè)不一樣的數(shù)字。用這些特殊的骰子來玩1個(gè)賭博游戲：
你可以選這3個(gè)中“最好”的那個(gè)，而我拿剩下的2個(gè)中“最好”的。我們一起擲出，數(shù)字大的獲勝。
即便你選擇了那個(gè)你認(rèn)為“更好”的骰子，我也總是能夠從平均統(tǒng)計(jì)值上戰(zhàn)勝你。對(duì)絕大部分人來說，這里最不可思議的一點(diǎn)在于，根本不存在所謂“最好”的骰子。
有三個(gè)奇異骰子，每一個(gè)骰子最多有2個(gè)或3個(gè)不一樣的數(shù)字。用這些特殊的骰子來玩1個(gè)賭博游戲：
你可以選這3個(gè)中“最好”的那個(gè)，而我拿剩下的2個(gè)中“最好”的。我們一起擲出，數(shù)字大的獲勝。
即便你選擇了那個(gè)你認(rèn)為“更好”的骰子，我也總是能夠從平均統(tǒng)計(jì)值上戰(zhàn)勝你。對(duì)絕大部分人來說，這里最不可思議的一點(diǎn)在于，根本不存在所謂“最好”的骰子。
坦率說，這個(gè)題目讓許多人困擾，因?yàn)樗麄冋J(rèn)為應(yīng)該遵守?cái)?shù)學(xué)上所謂的傳遞規(guī)則：若A優(yōu)于B，B優(yōu)于C，則A優(yōu)于C。
索普答出了巴菲特的難題。
如果骰子如下：A的六面數(shù)字是（3，3，3，3，3，3），B是（6，5，2，2，2，2），C是（4，4，4，4，1，1），那么統(tǒng)計(jì)平均顯示，A對(duì)B的勝率有2/3，B對(duì)C有5/9，C對(duì)A有2/3。
所以說，這是三個(gè)非傳遞骰子，不管你先選哪一個(gè)，我都能找出一個(gè)在概率上贏了你。
什么意思呢？我們繼續(xù)用基于“平行宇宙法”的窮舉法，來證明索普的結(jié)論。只是我不再能畫成簡(jiǎn)單的分叉圖了。
以B對(duì)C為例，示意如下：
橫向的紅色，是B的六種可能。縱向的藍(lán)色，是C的六種可能。
二者對(duì)決，36個(gè)格子就是36種可能，也就是說，會(huì)有36個(gè)平行宇宙。
這當(dāng)中，紅勝20次（打紅鉤的情況下），所以B的勝率是20/36=5/9。
你看，全世界最聰明人的難題，也不用一個(gè)公式，就能夠解得清清楚楚。
09
概率計(jì)算，普通人只要知道這么多，就夠了嗎？
幾乎是。
但最好再加上另外一種，就更完整了。
我們先來一道傳說中的谷歌面試題：
假設(shè)在一段高速公路上，30分鐘之內(nèi)見到汽車經(jīng)過的概率是0.95。那么，在10分鐘內(nèi)見到汽車經(jīng)過的概率是多少？（假設(shè)缺省概率固定）
假設(shè)在一段高速公路上，30分鐘之內(nèi)見到汽車經(jīng)過的概率是0.95。那么，在10分鐘內(nèi)見到汽車經(jīng)過的概率是多少？（假設(shè)缺省概率固定）
解題思路如下：
1、可以把30分鐘的這個(gè)結(jié)果，當(dāng)作是三個(gè)10分鐘的疊加，就像扔三個(gè)骰子一樣；
2、30分鐘之內(nèi)見到汽車經(jīng)過的概率是0.95，可能是經(jīng)過一輛車，也可能是幾輛車。所以我們就倒過來想，30分鐘見不到任何車的概率是0.05。
3、30分鐘見不到任何車，意味著三個(gè)10分鐘，連續(xù)都見不到任何車。我們假設(shè)每10分鐘見不到車的概率是y。
所以，這三個(gè)10分鐘同時(shí)發(fā)生見不到車的概率，就是y??y??y，原理和上面第“4”節(jié)的思路一樣。
因此在10分鐘內(nèi)見不到任何車輛的概率，是0.05的立方根。
而在10分鐘內(nèi)見到一輛車的概率，則為1減去此立方根（因?yàn)椤耙姷杰嚒焙汀耙姴坏饺魏诬嚒钡目赡苄灾蜑?00%）。
答案是大約63%。
10
類似思路的“用1減”，最有名的題目就是所謂的“生日悖論”：
如果在一個(gè)房間，至少要有多少人，可以令“其中某兩個(gè)人的生日是同一天”的概率大于50%？
答案是23人。
這個(gè)數(shù)字遠(yuǎn)比直覺要低得多。我很早以前喜歡拿這個(gè)錯(cuò)覺和人打賭，贏了好多回。
具體計(jì)算方法也不難，簡(jiǎn)述如下：
1、這個(gè)問題也要倒過來想，計(jì)算連續(xù)多個(gè)人生日都不重合的概率；
2、我們假設(shè)人們是按順序一個(gè)個(gè)進(jìn)入房間。第一個(gè)人隨便占了365天的一天，概率是365/365；
3、第二個(gè)人只有占剩下364天的一天，才能不和第一個(gè)人重合，概率是364/365；
4、依次類推，第三個(gè)人只有占剩下363天的一天，才能不和前兩個(gè)人重合，概率是363/365；
……
前五個(gè)人生日完全不重合的概率是：
1×364/365×363/365×362/365×361/365=97.3%。
也就是說，看起來似乎不重合的可能性很大。但是隨著人數(shù)的增多，不重合的可能性加速降低。
這有點(diǎn)兒像另外一種形式上的“復(fù)利效應(yīng)”。
當(dāng)人數(shù)達(dá)到23的時(shí)候，不重合的概率已經(jīng)低于50%了；當(dāng)房間里有50人時(shí)，至少有兩個(gè)人生日重合的概率已經(jīng)高達(dá)近97%了。
類似的算法，還可以用來在飯桌上打賭，至少有兩個(gè)人是同一個(gè)星座。
請(qǐng)問，飯桌上有幾個(gè)人的時(shí)候，你愿意和別人打這個(gè)賭？
11
即使我宣稱了“零公式”，你能堅(jiān)持看到這里，也很不容易。但絕對(duì)是值得的。
據(jù)科學(xué)家說，人類的大腦可能天生就是一個(gè)懂得貝葉斯概率算法的機(jī)器。
但只是一個(gè)隱形的機(jī)器。
事實(shí)上，人類很晚才懂得如何計(jì)算概率，所以人類大腦很難對(duì)概率計(jì)算形成直覺判斷。
計(jì)算機(jī)、大數(shù)據(jù)、人工智能的加速發(fā)展，以及金融市場(chǎng)和全球化經(jīng)濟(jì)的進(jìn)程，令概率成為現(xiàn)代人必備的“底層算法”。
本文是系列文章的第一篇（層級(jí)一：概率計(jì)算），后面還會(huì)接著寫“概率思考”和“概率行動(dòng)”。
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